Розвиток математичного мислення студентів фізико-математичних факультетів

Матеріал з PSYH.KIEV.UA -- Вісник психології і соціальної педагогіки

Поточна версія на 06:55, 11 травня 2010

Реферат аспіранта НПУ ім.Драгоманова.

Автор: Кюрчев Дмитро Володимирович

 Вступ

Одним із завдань навчання математиці у вищому навчальному закладі є забезпечення рівня математичної культури, необхідного для повноцінної участі студентів у майбутній професійній діяльності. Математика є унікальним засобом формування не тільки освітнього, а й розвиваючого та інтелектуального потенціалу особистості.Зокрема, перед викладачем математичних дисциплін постає проблема розвитку математичного мислення майбутніх фахівців, тобто теоретичного мислення, побудованого на об'єктах математики. Це є також важливим фактором успішного оволодіння студентами математичною наукою.У зв'язку з цим постають проблеми пошуку, визначення умов ефективного розвитку математичного мислення студентів.Одним із засобів розвитку інтелектуальної сфери студентів є задачі. Саме розв'язуванню задач приділяється значна частина навчального часу при викладанні математичних дисциплін у ВНЗ. При цьому необхідно визначити сутність математичного мислення як психічного процесу, встановити взаємозв'язок між навчанням студентів розв'язувати математичні задачі та розвитком мислення. Це допоможе знайти такі методи і прийоми, організаційні форми навчання (серед яких можуть бути як традиційні, так і відносно нові), за яких в найбільшій мірі проявиться розвиваюча функція задач.

1. Математичне мислення та його ознаки

Мислення - це соціальне обумовлений, нерозривно пов'язаний з мовою психічний процес пошуків та відкриття істотно нового, процес опосередкованого та узагальненого відображення дійсності у ході її аналізу та синтезу. Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі [11]. Процес мислення в навчальній діяльності - це процес пізнання.

Він будується за відомою у психології теорією пізнання, у якій умовно можна виділити наступні етапи:

• сприймання (на основі чуттєвих органів);
• осмислення;
• узагальнення;практичні дії.

На основі найпростіших методів пізнання - словесних, наглядних, практичних - відбувається процес навчального пізнання.Якщо необхідно цей процес ускладнити, наприклад, процес сприймання та осмислення будується на більш складній методиці проблемного (самостійного) вивчення, то в цьому випадку розумова діяльність максимально орієнтується на заключний етап - абстрактне пізнання (узагальнення).Як правило, коли кажуть про розвиток мислення у процесі навчання математиці, то мають на увазі розвиток математичного мислення. Звичайно, це вірно: у процесі навчання математиці слід у першу чергу турбуватися не взагалі про розвиток мислення, а саме про розвиток математичного мислення [9].

А.Я. Хінчин, відомий математик, що глибоко цікавився проблемами навчання математиці, вказав на чотири характерні ознаки математичного мислення:

1. «доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения...»
2. «...лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации».
3. «…четкая расчлененность хода аргументации».
4. Скурпулезная точность символики [24, с. 38].

Вивчення математичних дисциплін у ВНЗ являє собою складний процес, основними цільовими компонентами якого є:

• засвоєння студентами системи математичних знань;
• оволодіння студентами певними математичними вміннями та навичками;
• розвиток мислення студентів.

Ще не так давно вважалось, що успішна реалізація першої та другої із цих цілей математичної освіти автоматично приводить до успішної реалізації третьої цілі, тобто вважалось, що розвиток математичного мислення відбувається у процесі навчання математиці спонтанно. Це вірно, але лише в деякій мірі.Результати досліджень багатьох вітчизняних та зарубіжних психологів та дидактів показали, що математичне мислення є не лише одним із найважливіших компонентів процесу пізнавальної діяльності, але й таким компонентом, без цілеспрямованого розвитку якого неможливо досягнути ефективних результатів оволодіння математичною наукою.Будемо розуміти під математичним мисленням, по-перше, ту форму, якою є діалектичне мислення у процесі пізнання людиною конкретної науки математики або у процесі застосування математики в інших науках, техніці, господарстві і т. д.; по-друге, ту специфіку, яка обумовлена самою природою математичної науки, методів, що застосовуються для пізнання явищ реальної дійсності, а також тими загальними прийомами мислення, які при цьому застосовуються.Математичне мислення має свої специфічні риси та особливості, вони обумовлені специфікою об'єктів, що вивчаються, а також специфікою методів їхнього вивчення.Існує загальна думка про активну роботу у процесі математичного мислення певних якостей мислення (гнучкість, просторова уява, вміння знаходити головне і т. д.), які в рівній мірі можуть бути співвіднесені як до математичного мислення, так і до мислення фізичного, технічного і т. д., тобто до наукового мислення взагалі.До числа якостей наукового мислення відноситься гнучкість (не шаблонність), оригінальність, глибина, цілеспрямованість, раціональність, широта (узагальненість), активність, критичність, доведеність мислення, організованість пам'яті, чіткість та лаконічність мовлення та запису.Вважатимемо для прояву гнучкості мислення вміння цілеспрямовано змінювати способи розв'язування пізнавальної проблеми, легкість переходу від одного шляху вирішення проблеми до іншого, вміння виходити за межі звичного способу дій, знаходити нові способи вирішення проблем при зміні умов, що даються.Найвищий рівень розвитку не шаблонного мислення проявляється в оригінальності мислення, яка у навчанні математиці, як правило, виступає у незвичності способів розв'язування відомих студентам задач.Глибина мислення характеризується вмінням проникати у сутність кожного з фактів, що вивчаються, у їхньому взаємозв'язку з іншими фактами; виявляти приховані особливості у матеріалі.Цілеспрямованість мислення характеризується намаганням здійснювати розумний вибір дії при вирішенні певної проблеми, постійно орієнтуючись на поставлену цією проблемою ціль, а також у намаганні відшукати найбільш короткі шляхи її досягнення.Цілеспрямованість мислення сприяє виявленню такої якості, як раціональність мислення, що характеризується схильністю до економії часу та коштів для вирішення поставленої проблеми, намагання відшукати простий у даному випадку розв'язок задачі, використовувати у ході розв'язування схеми, символіку та умовні позначення.Раціональність мислення часто виявляється при наявності широти мислення, що характеризується здатністю до формування узагальнених способів дій, що мають широкий діапазон переносу і застосування до частинних, не типових випадків; вміння охоплювати проблему в цілому, не упускаючи при цьому деталей, що мають значення; узагальнити проблему, розширити область застосування результатів, отриманих у процесі її розв'язання.Усі розглянуті вище якості мислення можуть проявитися лише при умові прояву активності мислення, що характеризується сталістю зусиль, спрямованих на вирішення деякої проблеми, бажання обов'язково розв'язати поставлену проблему, вивчити різні підходи до її розв'язку, дослідити різні варіанти постановки цієї проблеми у залежності від умов і т. д.Важливе місце займає критичність мислення, яка характеризується вмінням оцінити правильність обраних шляхів вирішення поставленої проблеми, отримані при цьому результати з точки зору їхньої вірогідності, значущості.З критичністю мислення тісно пов'язана доведеність мислення, що характеризується вмінням терпляче й скрупульозно ставитися до збору фактів, достатніх для винесення будь-якого судження, прагненням до обґрунтування кожного кроку розв'язання задачі, вмінням відрізняти результати достовірні від правдоподібних.Організованість пам'яті означає здатність до запам'ятовування, довготривалого збереження, швидкого й правильного відтворення основної навчальної інформації та впорядкованого досвіду.Такі якості наукового мислення, як ясність, точність, лаконічність мовлення і запису, не потребують особливих коментарів.Усі ці якості мислення взаємопов'язані одна з одною, часто виступають в органічній єдності.Специфіка математичного мислення пояснюється його об'єктами. Як вказував А.К. Сухотін, „особенностью математического объекта является то, что он - отвлечение не просто свойства, а свойства свойств й поэтому представляет абстракцию от абстракции...".У якості прикладу математичного об'єкта автор розглядає поняття числа. Будь-яке конкретне натуральне число відображає ознаки не окремих предметів, а їх сукупностей, не конкретних елементів, а їх класів.Отже, математичні об'єкти не володіють жодними речовими (матеріальними) та енергетичними характеристиками, маючи лише одну характеристику: ці об'єкти знаходяться у певних відношеннях один з одним, у відношеннях кількісних, просторових та їм подібних. Тому А. Пуанкаре мав повне право заявити: „Математик вивчає не предмети, але лише відношення між предметами; таким чином, для нього досить байдуже, чи будуть дані предмети замінені якими-небудь іншими, аби тільки не змінювались при цьому їх співвідношення".Таким чином, математичне мислення - це дуже абстрактне, теоретичне мислення, об'єкти якого позбавлені матеріальності і можуть інтерпретуватися довільним чином, при умові збереження заданих між ними відношень.

2. Задача як засіб інтелектуального розвитку студентів

Відомо, що розвивати математичне мислення можна за допомогою спеціально підібраної системи задач, вправ і методики роботи з ними [21]. Розв'язування задач - найбільш характерна сфера людської діяльності і являє собою основну діяльність того, хто навчається математиці.У психології задача розглядається як мета, задана в певних умовах, як особлива характеристика діяльності суб'єкта. Задача тут тлумачиться як суб'єктивне психологічне відображення тієї зовнішньої ситуації, у якій розгортається цілеспрямована діяльність суб'єкта [21].До задач у широкому розумінні відносять не лише текстові задачі, сюжетні, а й різного характеру вправи, приклади.Задачі у навчанні математиці є засобом навчання [8, с. 199]. Виділяють чотири їхні функції - навчальна, розвиваюча, виховуюча і контролююча.Розвиваючій функції задач останніми роками приділяється особлива увага. Не випадково Д. Пойа [18], Е. Резерфорд, А. Ейнштейн та інші зазначали, що задачі не тільки і не стільки мають сприяти закріпленню знань, тренуванню в їх застосуванні, скільки формувати дослідницький стиль розумової діяльності, метод підходу до явищ, що вивчаються [18].Розвиваюча функція задач спрямована на розвиток мислення студентів, на формування в них розумових дій та прийомів розумової діяльності, просторових уявлень, уяви, алгоритмічного мислення, вміння моделювати ситуацію тощо [21].У зв'язку з великою кількістю типів, видів математичних задач ми маємо розглянути існуючі класифікації задач. Зокрема, у педагогічній літературі можна знайти наступні класифікації.Перша класифікація: за кількістю невідомих у структурі задач. Колягин Ю.М. пропонує їх класифікувати на навчальні, пошукові та проблемні.До навчальних задач належать ті, структура яких має один невідомий компонент: XCRB, AXRB, ACXB, ACRX.Задачі пошукового характеру - це ті, у структурі яких невідомо два компоненти: XYRB, XCYB, XCRY, AXYB, ACXY, AXRY.Проблемні задачі - це задачі з трьома невідомими компонентами: AXYZ, XCYZ, XYZB, XYRB.Такий поділ задач на навчальні, пошукові та проблемні не є, звичайно, строгим.Друга класифікація: за характером об'єктів задачі поділяють на практичні та математичні.Третя класифікація: за відношенням до теорії виділяють стандартні та нестандартні задачі.У ролі основної ознаки стандартних задач вказано наявність у курсі математики таких загальних правил і положень, що однозначно визначають програму розв'язання цих задач та виконання кожного кроку цієї програми (тобто мають свій алгоритм розв'язування).Нестандартні задачі - це такі, для яких у курсі математики не існує загальних правил або положень, що визначають точну програму їх розв'язання.Четверта класифікація: за функціями у процесі навчання розрізняють дидактичні, пізнавальні та розвиваючі задачі.Задачі з дидактичними функціями використовують для підготовки студентів і введення нового матеріалу, також при його закріпленні: вони несуть функцію застосування теорії, що вивчається.Задачі з пізнавальними функціями мають мету відпрацювати та поглибити основний зміст математичної дисципліни.Задачі з розвиваючими функціями - це ті, розв'язування яких потребує певних знань та вмінь, що явно не передбачені програмою. Саме ці задачі спрямовані на розвиток мислення.П'ята класифікація: задачі з навчаючими, виховуючими, розвиваючими та контролюючими функціями - це класифікація Ю.М. Колягина.Н.В. Метельський [9] поділяє задачі за функціями на пізнавальні, тренувальні та розвиваючі. Н.К. Рузин виділяє такі групи: попередні дидактичні задачі, пізнавальні задачі, наступні дидактичні задачі, задачі з розвиваючими функціями та задачі з прикладними функціями.Шоста класифікація: задачі, що стимулюють навчально-пізнавальну діяльність; організують та здійснюють навчально-пізнавальну діяльність студентів; задачі, у процесі виконання яких здійснюється контроль та самоконтроль ефективності навчально-пізнавальної діяльності.Сьома класифікація: за перевагою того чи іншого типу мислення у процесі розв'язування задач, їх умовно поділяють на алгоритмічні, напівалгоритмічні та евристичні.Восьма класифікація: задачі поділяють на арифметичні, алгебраїчні, аналітичні.Дев'ята класифікація: задачі класифікують за змістом: задачі на рух, задачі на частини, на відсотки і т.п.Десята класифікація: Д. Пойа поділяє задачі на дві групи: задачі типу „об'єкт" та задачі типу „процедура". Метою розв'язання задач типу „об'єкт" є знаходження невідомого цієї задачі, що задовольняє умові задачі. Розв'язання задачі типу „процедура" передбачає побудову певної схеми операцій, системи висновків, послідовності кроків [18].Одинадцята класифікація: за характером вимог виділяють наступні групи задач: задачі на обчислення, задачі на побудову, задачі на доведення, задачі текстові, задачі комбінованого характеру.Наведені класифікації дозволяють ширше уявити собі проблеми, пов'язані з методикою навчання студентів розв'язувати задачі, спрямовуючи цей процес на розвиток мислення.Поряд з поняттям „задача" використовують і таке поняття, як вправа. Вправа - це та ж задача, прямим продуктом розв'язання якої є знання, вміння, навички, що набуваються під час розв'язування задачі.

Вправа - це багатоаспектне явище навчання математиці, що має такі ознаки:

• є носієм дій, адекватних змісту;
• є засобом цілеспрямованого формування знань та вмінь;
• є однією з форм реалізації методів навчання;
• виступає засобом зв'язку теорії з практикою.

Вправи виконують свою роль, коли вони представлені у певній системі. Будь-які вправи (і взагалі задачі) у навчанні математиці виконуються з певною метою (формування понять, систематизації понять, навчання доведенню тощо).Усі цілі пов'язані між собою та з цілями вивчення даної дисципліни. Так, наприклад, при вивченні розділу „Елементи комбінаторики" - це формування понять перестановки, розміщення, комбінації та ін. Часткова ціль - це засвоєння суттєвих ознак понять. Загальна ціль - формування так званого комбінаторного стилю мислення, що тісно пов'язаний із розвитком математичного мислення взагалі.Загальні та часткові цілі виконання вправ повинні розглядатися у взаємозв'язку та взаємообумовленості. Досягнення кожної мети потребує певної діяльності і, отже, оволодіння діями адекватними цій діяльності [15].Наприклад, для засвоєння визначення поняття необхідні, зокрема, вправи на розпізнання об'єктів, що задовольняють ознакам понять. Очевидно, що оволодіння різними діями реалізується на різних за змістом вправах.Виконання дій здійснюється на основі вивчення понять, теорем, способів діяльності. Тому у зміст вправ „закладено" зміст навчання математиці: поняття, теореми тощо.Виконання вправ викликає різні види розумової діяльності студентів: репродуктивну, творчу.Розв'язування математичних задач навчає відокремлювати посилки та висновок, дані та шукане, знаходити загальне, і особливо у даних, зіставляти та протиставляти факти. При розв'язуванні математичних задач, як вказував А.Я. Хінчин, виховується правильне мислення, і перш за все вдосконалюються вміння повноцінної аргументації. Розв'язування задачі має бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, ставиться вимога повноти диз'юнкції (розгляд усіх випадків поданої у задачі ситуації), виконується повнота та витриманість класифікації. При розв'язуванні математичних задач в студентів формується особливий тип мислення: виконання формально логічної схеми міркувань, лаконічний вираз думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки [24].При розв'язуванні задач формуються розумові вміння, а разом з ними сприймання та пам'ять. Розв'язування математичних задач потребує застосування багатьох розумових вмінь: аналізувати задану ситуацію, зіставляти дані та шукане, задачу, що розв'язується зараз із задачами, розв'язаними раніше, виявляючи приховані властивості заданої ситуації; конструювати найпростіші математичні моделі, здійснюючи мислений експеримент; синтезувати, відбираючи корисну інформацію, систематизуючи її; коротко та чітко, у вигляді тексту, символічно, графічно і т.д. оформлювати свої думки; об'єктивно оцінювати отримані при розв'язуванні задачі результати, узагальнювати або спеціалізувати результати розв'язання задачі, досліджувати особливі прояви заданої ситуації [24]. Усе сказане говорить про необхідність враховувати при навчанні розв'язуванню задач сучасні досягнення психологічної науки.

3. Психологічні принципи формування математичного мислення з використанням навчальних задач

Дослідженнями встановлено, що вже сприймання задачі розрізняється у різних студентів даної академічної групи. Здібний до математики студент сприймає і одиничні елементи задачі, і комплекси її взаємопов'язаних елементів, і роль кожного елементу в комплексі. Середній студент сприймає лише окремі елементи задачі. Тому при розв'язуванні задачі необхідно аналізувати зв'язок та співвідношення елементів задачі. Так спроститься вибір засобів переробітки умови задачі. При розв'язуванні задач часто доводиться звертатися до пам'яті. Індивідуальна пам'ять здібного до математики студента зберігає не всю інформацію, а в основному „узагальнені та згорнуті структури". Зберігання такої інформації не обтяжує мозок надлишковою інформацією, а ту, що потрібно запам'ятати, дозволяє довше зберігати та легше використовувати. Навчання узагальненням при розв'язуванні задач розвиває, таким чином, не лише мислення, але й пам'ять, формує „узагальнені асоціації"".Математичні задачі повинні перш за все пробуджувати думку студентів, заставляючи її працювати, розвиватися, вдосконалюватися. Кажучи про активізацію мислення, не можна забувати, що при розв'язуванні задач студенти не лише виконують побудови, перетворення та запам'ятовують формулювання, але і навчаються чіткому мисленню, вмінню розмірковувати, зіставляти та протиставляти факти, знаходити в них загальне і відмінне, робити правильні умовиводи [21].Правильно організоване навчання розв'язуванню задач привчає до повноцінної аргументації із посилкою у відповідних випадках на аксіоми, введені означення та раніше доведені теореми. З метою привчання до достатньо повної та точної аргументації корисно час від часу пропонувати студентам записувати розв'язок задач у два стовпці: зліва - ствердження, викладки, обчислення, справа - аргументи, тобто речення, що підтверджують правильність наведених стверджень, викладок та обчислень.Задачі мають активізувати розумову діяльність студентів. Ефективність навчальної діяльності, спрямованої на розвиток мислення, багато в чому залежить від ступеня творчої активності студентів при розв'язуванні задач. Отже, необхідні такі задачі та вправи, які б активізували розумову діяльність.Єсаулов А.Ф. поділяє задачі на наступні види: задачі, розраховані на відтворення (при їх розв'язуванні спираються на пам'ять та увагу); задачі, розв'язування яких приводить до нової, невідомої до цього думки, ідеї; творчі задачі. Активізує та розвиває мислення розв'язування задач двох останніх видів. Розглянемо деякі з них.1. Задачі, вправи, що включають елементи дослідження. Найпростіші дослідження при розв'язуванні задач треба пропонувати, починаючи вже з перших практичних занять. Згодом необхідно давати не лише задачі з елементами досліджень, але й задачі, що включають дослідження як обов'язкову складову частину. Такі дослідження необхідно включати у розв'язування багатьох геометричних задач на побудову, задач математичного аналізу тощо.Задачі та вправи з виконанням деяких досліджень можуть знайти своє місце у будь-яких математичних дисциплінах, що викладаються у ВНЗ.2. Задачі на доведення здійснюють суттєвий вплив на розвиток мислення студентів. Саме при виконанні доведень відточується логічне мислення, розроблюються логічні схеми розв'язування задач, в студентів виникає потреба обґрунтувати математичні факти.3. Задачі та вправи у пошуку помилок також відіграють суттєву роль у розвитку математичного мислення студентів. Такі задачі привчають звертати увагу на особливо тонкі місця у логічних міркуваннях, допомагають розрізняти дуже схожі поняття, привчають до точності суджень і математичної строгості і т.д. Перші кроки у відшуканні помилок повинні бути нескладними.Психологи встановили, що розв'язування однієї і тієї ж задачі декількома способами приносить більше користі, ніж декілька стереотипних задач підряд. Розгляд різноманітних варіантів розв'язків, вміння обрати з них найбільш раціональні, прості, витончені засвідчують про вміння студента мислити аналітичне, розмірковувати, проводити правильні умовиводи. Різні варіанти розв'язків однієї задачі надають можливість студенту застосовувати весь арсенал його математичних знань. Таким чином, розгляд різних варіантів розв'язків задачі виховує в тому числі і гнучкість мислення. Пошук раціонального варіанта розв'язку лише на перших порах потребує додаткового часу на розв'язання задачі. В подальшому ці затрати з лихвою окупляться.Ще один важливий момент - складання задач самими студентами. Свідоме вивчення математики та розвиток мислення студентів стимулюється самостійним складанням (конструюванням) математичних задач. При цьому, по-перше, виховується самостійність (студенти оперують вивченими об'єктами і фактами математики, тобто розглядають та оцінюють властивості, відмінності і характерні особливості цих об'єктів); по-друге, розвивається їхня творча розумова активність.Конструювання задач студентами змушує їх використовувати більший обсяг інформації, застосовувати міркування, обернені до тих, що застосовуються при звичайному розв'язуванні задач. Отже, при складанні задач студент застосовує логічні засоби, відмінні від тих, за допомогою яких розв'язуються звичайні задачі, відкриває нові зв'язки між математичними об'єктам. Це розвиває мислення. Але й не можна доводити конструювання задач до навички. Усякий трафарет, шаблон знищує головне, заради чого ці вправи вводяться: розвивати мислення.Розумова діяльність студентів залежить також від змісту вправ, від послідовності їх виконання. При цьому ступінь оволодіння вміннями розв'язувати певний тип вправ може бути різним.При розв'язуванні математичних задач на аналітичному (початковому) рівні студент вміє відокремлювати істотні умови, вибирати необхідні знання та прийоми для її розв'язання, на наступному, вищому рівні - побудувати оптимальну систему відомих дій для розв'язання задачі; на найвищому рівні -  може узагальнити спосіб розв'язування задачі і самостійно скласти задачі різного змісту, що розв'язуються одним способом.Таким чином, кожен рівень характеризується сформованістю певних дій. Вважається, що коли студентам пропонувати навчальні задачі, спрямовані на формування вказаних дій, то це буде сприяти встановленню відповідного їм наступного рівня розвитку мислення. Важливо і те, як організована робота з такими задачами, оскільки пропоновані студенту завдання передбачають виконання або всіх, або деяких дій, що відповідають кожному рівню розвитку мислення, самостійність при виконанні цих дій від завдання до завдання повинна збільшуватись.Не можна також допускати, щоб студенти вміли виконувати лише однотипні вправи - це знижує розвиток їх розумової діяльності. Лише наявність нестандартних вправ дозволить здійснювати пошук розв'язку, активізувати мислення учнів, їхні вміння застосувати відомі знання у новій ситуації.Таким чином, комплекс вправ, що складається із задач різного типу, шляхом поступового ускладнення розумових дій може сприяти вивченню конкретних понять, теорем, і разом з цим у кінцевому результаті привести до якісних та кількісних змін у рівні розвитку мислення студентів.

 Висновки

Отже, математичні дисципліни у ВНЗ мають невичерпний виховний і розвиваючий потенціал, але захований він не в готових алгоритмах, теоремах і формулах, а в задачному фонді. Тільки доцільно підібрані задачі спроможні розбудити (та підтримувати) мислення студента на мобілізаційно-діяльному рівні. Звичайно, що складність задач слід дозувати так, щоб чинити належний опір зусиллям розв'язувача, не створюючи в нього враження безнадійності. Розв'язавши таку задачу, студент переживає ні з чим не зрівняне емоційне піднесення, що надовго закарбовується в його душі. В нього виникає інтерес до самостійного пошуку розв'язків. Є багато свідчень видатних математиків про те, що на хвилі саме такого емоційного піднесення вирішувалась їхня майбутня творча доля.

 Література

1. Атахов Р. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления. Вопросы психологии, № 5, 1995.
2. Вейль Г. Математическое мышление. - М., 1989. - 400 с.
3. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М., 1986.
4. Демиденко В.К. Психологія вищої освіти. Навч. посібн. - Бердянськ, 2003.
5. Дьяченко М.И., Кандыбович Л.А. Психология высшей школы. - Минск, 2003.
6. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлинська С.Ю. Теорія ймовірностей і математична статистика. З елементами інформаційної технології. - К.: Вища шк., 1995.
7. Жалдак М.І. Михалін Г.О. Елементи стохастики з комп'ютерною підтримкою. - Київ, НПУ ім. М. Драгоманова. 2000. - 70 с.
8. Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учебник для вузов. Изд. второе, доп., испр. и перераб. - М., 2004. - 384 с.
9. Метельський Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Пробл. современной методики математики. -Мн.: Университетское, 1989. - 160 с.
10. Мороз О.Г., Падалка О.С., Юрченко В.І. Педагогіка і психологія вищої школи. - К., 2003.
11. Немов Р.С. Психология. М.: Гуманитарный издательский центр: Владос, 1999.-608 с.
12. Немов Р.С. Психология: Словарь-справочник: В 2-х ч. - М., 2003.
13. Немов Р.С. Психология: Учебн. для студ. высш. пед. уч. заведений: в 3-х кн.-4-е изд.-М., 2003.
14. Обухова Л.Ф. Возрастная психология. Учебник. Изд. 4. - М., 2004. - 442 с.
15. Петровский А.В., Ярошевский М.Г. Психология: Учебник для студ. высш. пед. учебн. заведений. - 3-е изд., стереотипи. - М., 2002. - 512 с.
16. Пономарев Я. А. Знание, мышление и умственное развитие. М., 1967.
17. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1970.
18. Пойя Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970.
19. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.
20. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: учебное пособие. - М.: Народное образование, 1998.
21. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів. - К.: Зодіак-ЕКО, 2000. - 512 с.: іл.
22. Фельдштейн Д.И. Возрастная психология. - М., 1997.
23. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. - М., 1989.
24. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. - М.: АПН РСФСР, 1963. - 128 с.
25. Якунин В.А. Психология учебной деятельности студентов. М., 1994.